Matrices especiales

                                                   

• Introducción
• Matriz Identidad
• Matriz Diagonal
• Matriz Triangular
• Matriz Traspuesta
• Matriz Adjunta
• Matriz Simétrica
• Matriz Antisimétrica
• Matriz Definida Positiva
• Matriz Diagonalmente Dominante por Filas (o Columnas)
• Matriz Hessenberg

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Introducción

La importancia de las matrices en álgebra es conocida y existen numerosos teoremas que las caracterizan o que las emplean como herramienta. Pero además, si trabajamos con matrices especiales, esto es, con matrices que cumplen determinadas características, obtenemos otros resultados interesantes o importantes por sus aplicaciones. Veamos un ejemplo:
Dada la matriz regular A de dimensión n x n tiene todos los menores principales no singulares, entonces admite una factorización LU. En este caso, para resolver computacionalmente el sistema
$$Ax=b$$se necesitan
$$\frac{2}{3}{n}^3$$operaciones en punto flotante, mientras que si usamos la descomposición QR se necesitan
$$\frac{4}{3}{n}^3$$Es decir, usando la descomposición LU se requiere la mitad de operaciones respecto la descomposición QR.
En esta sección presentamos los tipos básicos de matrices según su forma (definición y propiedades inmediatas): identidad, diagonal, traspuesta, adjunta, simétrica, antisimétrica, definida positiva, diagonalmente dominante y Hessenberg.

Matriz identidad

Llamamos matriz identidad a la matriz cuadrada (mismo número de filas que de columnas) formada por unos en la diagonal y ceros en las demás entradas (posiciones). La representamos por I_n donde n es la dimensión de la matriz.

Propiedades:

• Es el neutro del producto de matrices. Es decir, para toda matriz A de dimensión m x n,
  
  
• Es idempotente, es decir, sus potencias son ella misma
  
  
• Es regular y su inversa es ella misma.
• Es una matriz permutación.
• Sólo tiene un autovalor (valor propio), que es 1, con multiplicidad algebraica la misma que la dimensión de la matriz.

Notaciones habituales:

Matriz diagonal

Todos los elementos son nulos excepto los de la diagonal, esto es, los elementos que tienen el mismo número de fila que de columna.
Una matriz A diagonal de dimensión m x n que tiene por elementos de la diagonal a los elementos del vector v se le denota por

Ejemplos

Propiedades:

• Son un caso particular de las matrices triangulares.
• La matriz traspuesta de una matriz diagonal de dimensión m x n es la matriz diagonal de dimensión n x m con la misma diagonal.
• En las matrices cuadradas, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal:
  
  
  con lo que son regulares si, y sólo si, todos los elementos de la diagonal son distintos de 0. En tal caso,
  
  
• Potencias (para las cuadradas)
  
  
• Producto de matrices diagonales: Sean las matrices A y B diagonales de dimensiones respectivas m x n y n x t, su producto es una matriz diagonal de dimensión m x t
  
  
• Los autovalores (valores propios) de las matrices diagonales cuadradas son los elementos de la diagonal.

Matrices triangulares

Distinguimos dos tipos:

• triangular superior: todos los elementos por debajo de la diagonal de la matriz son 0, es decir,
  
  
• triangular inferior: todos los elementos por arriba de la diagonal de la matriz son 0, es decir,
  
  

Ejemplos
Triangular superior	Triangular inferior

Propiedades de las matrices triangulares

• La matriz traspuesta de una triangular superior es triangular inferior y viceversa.
• Si la matriz es cuadrada, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal
  
  
  Por tanto, es regular si, y sólo si, los elementos de la diagonal son distintos de 0. En tal caso,
  
  
• La inversa de una matriz triangular superior (inferior) es una matriz triangular superior (inferior).
• El producto de matrices triangulares superiores (inferiores) es una matriz triangular superior (inferior).
• Los autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada triangular son los elementos de la diagonal.

Matriz traspuesta

La matriz traspuesta de una matriz A de dimensión m x n es una matriz de dimensión n x m que tiene por columnas a las filas de A. Se denota como A^T (o A' si la matriz es real).

Ejemplos

Propiedades de la matriz traspuesta

• Traspuesta de la traspuesta
  
  
• Traspuesta de la suma
  
  
• Traspuesta del producto
  
  
• Una matriz es igual que su traspuesta si, y sólo si, es simétrica
  
  
• El determinante de una matriz regular es igual al de su traspuesta
  
  

Matriz adjunta

Sea A una matriz de cuadrada de dimensión n

se define su matriz adjunta como

donde A^{i , j} es la matriz que resulta al quitar la fila i y columna j a A.
Al elemento ad _{i , j} se le denomina ( i , j )- cofactor (o adjunto) de la matriz A.
Propiedades de la matriz adjunta:

• Adjunta de la identidad
  
  
• Adjunta de la traspuesta
  
  
• Adjunta del producto
  
  
• Si A es de dimensión n y k un escalar
  
  
• Si A es regular, su inversa es
  
  
  Esta propiedad se usa con frecuencia para el cálculo de la inversa: ejemplos.

Ejemplo de matriz adjunta

Matriz simétrica

Una matriz A cuadrada es simétrica si es igual a su traspuesta. Es decir,

Ejemplo

Propiedades de las matrices simétricas

• La inversa de una matriz simétrica regular es simétrica.
• La adjunta de una simétrica es simétrica.
• La suma de simétricas es simétrica. El producto lo es si, y sólo si, también es conmutativo.
• Los autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada, real y simétrica son reales.
• Autovectores (vectores propios) de autovalores distintos de una matriz cuadrada y real son ortogonales.
• Una matriz cuadrada y real, A, es simétrica si, y sólo si, es diagonalizablemediante una matriz de paso ortogonal, Q. Es decir,
  
  

Matriz antisimétrica

Una matriz cuadrada A es antisimétrica si su traspuesta es igual a su opuesta, es decir, A^T = -A.

Matriz definida positiva

Una matriz A de dimensión m x n es definida positiva si para todo vector x = ( x₁ ,…, x_n) se cumple

Si la desigualdad se cumple con el signo ≥ , diremos que es semi definida positiva.

Matriz (estrictamente) diagonalmente dominante por filas o columnas

Una matriz A de dimensión m x n es diagonalmente dominante por filas si

diremos que los es por columnas si

Diremos que los son estrictamente si la desigualdad se cumple de forma estricta: >.

Matriz Hessenberg

Una matriz cuadrada A de dimensión n > 1 diremos que es Hessenberg superior si todos los elementos por debajo de la diagonal -1 son nulos. Recordamos que la diagonal -k es la diagonal número k por debajo de la diagonal (principal).
Una matriz cuadrada A de dimensión n > 1 diremos que es Hessenberg inferior si todos los elementos por arriba de la diagonal -1 son nulos. Recordemos que la diagonal k es la diagonal número k por arriba de la diagonal (principal).

Ejemplos
Hessenberg superior
Hessenberg inferior