Espacios vectoriales

Un espacio vectorial es:

Un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores u, v y w en V y todos los escalares α y β reales. Podemos definir también qué se utiliza para nombrar a la estructura matemática que se crèa a partir de un conjunto no vacío y cumple con diversos requisitos y propiedades iniciales. Esta estructura aparece mediante una operación de suma interna del conjunto, y una operación de producto entre dicho conjunto y un cuerpo. El espacio vectorial cuenta con de una base y todas las bases de un espacio vectorial, qa su vez, presentan la misma cardinalidad.

Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.

1: Si X∈V y Y∈V entonces X+Y ∈ V

2: Para todo X,Y y Z en V(X+Y)+Z= X+(Y+Z). Ley asociativa de la suma.

3: Existe un vector 0 ∈V tal que para todo X ∈V, X+0 = 0+X=X

   El cero se llama vector cero o idéntico aditivo.

4: Si  X ∈V, existe un vector -X en  ∈V tal que X+(-X)=0

   (-X se llama inverso aditivo de X).

5: Si X y Y en V entonces  X+Y = Y+X

    Ley conmutativa de la suma de vectores.

6: Si X ∈V y α(alfa) es un escalar  entonces

   αX∈V (Cerradura bajo la multiplicación por un escalar).

7: Si X y Y están en V  Y α es un escalar entonces α(X+Y)= α+αY

Primera ley distributiva

8: si X ∈V y α y ɮ son escalares entonces (α+ɮ)X = αX+ɮX

    Segunda ley distributiva.

Qué es un subespacio vectorial:

Si V es un espacio vectorial, entonces un subconjunto no vacío U de V es un subespacio vectorial si y sólo si para cualesquiera dos vectores v, w pertenecientes a U y cualesquiera escalares r y s pertenecientes al cuerpo asociado, el vector  rv+sw es también un elemento de U.

Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V.

W es un subespacio de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en V.

Enumere las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial o un subespacio.

Observación: En la definición anterior, cuando decimos “escalares” nos estamos refiriendo a números reales. En este caso, se dice que V es un espacio vectorial real.

También es posible que los escalares pertenezcan a otro conjunto numérico, por Ejemplo 1

De acuerdo con las propiedades , podemos afirmar que R3R3 es un espacio vectorial.

Los espacios Rn , con n≥1n≥1 , son los ejemplos principales de espacios vectoriales. La intuición geométrica desarrollada para R3R3 nos ayudará a entender y visualizar muchos conceptos de esta unidad.

Los vectores de RnRn son n-uplas de números reales, o sea:

Rn={(x1,x2,…,xn),con xi∈R}Rn={(x1,x2,…,xn),con xi∈R}

En RnRn , la suma de vectores y el producto por un escalar se definen así:

Sean u=(u1,u2,…,un)yv=(v1,v2,…vn)∈Rnu=(u1,u2,…,un)yv=(v1,v2,…vn)∈Rn

u+v=(u1+v1,u2+v2,…,un+vn)∈Rnu+v=(u1+v1,u2+v2,…,un+vn)∈Rn

αv=(αv1,αv2,…,αvn)∈Rnαv=(αv1,αv2,…,αvn)∈Rn

Puede comprobarse que las operaciones definidas verifican los axiomas de espacio vectorial.

Ejemplo 2

De acuerdo con las propiedades enunciadas en la segunda unidad, para cada m y n Rmxn es un espacio vectorial.

Tenemos por ejemplo R2×3, espacio vectorial cuyos vectores son las matrices de 2×3.

Ejemplo 3

Llamemos P2 al conjunto de polinomios de grado menor o igual que 2, incluyendo el polinomio nulo.

Recordemos la suma de polinomios y la multiplicación por un escalar:

Dados p(x)=ao+a1x+a2x2∈P2p(x)=ao+a1x+a2x2∈P2 y q(x)=bo+b1x+b2x2∈P2q(x)=bo+b1x+b2x2∈P2

Definimos las operaciones:

(p+q)(x)=p(x)+q(x)=(ao+bo)+(a1+b1)x+(a2+b2)x2∈P2(p+q)(x)=p(x)+q(x)=(ao+bo)+(a1+b1)x+(a2+b2)x2∈P2

(αp)(x)=αp(x)=(αao)+(αa1)x+(αa2)x2∈P2(αp)(x)=αp(x)=(αao)+(αa1)x+(αa2)x2∈P2

Puede demostrarse que estas operaciones verifican todos los axiomas de espacio vectorial.

En particular, el vector nulo en este espacio es el polinomio nulo, es decir el polinomio cuyos coeficientes son todos iguales a cero.

Generalizando, para cualquier n≥0n≥0 , el conjunto PnPn de todos los polinomios de grado menor o igual que nn (incluyendo el polinomio nulo) es un espacio vectorial.

Observación:

¿Por qué no definimos Pn como el conjunto de polinomios de grado exactamente igual a n? Si lo definiríamos así, no sería un espacio vectorial como se muestra en el siguiente ejemplo:

p(x)=x2p(x)=x2 y q(x)=–x2+1q(x)=–x2+1 son polinomios de grado 2, pero la suma es un polinomio de grado cero. Entonces no se verificaría el primer axioma de espacio vectorial (la suma de vectores de un espacio vectorial V debe estar en V).

Propiedades de los espacios vectoriales

A partir de los  axiomas de espacios vectoriales, pueden demostrarse estas propiedades que resultan “naturales”:

Propiedad 1

0u=0V0u=0V

Propiedad 2

α0V=0Vα0V=0V

Propiedad 3

(–α)u=–(αu)(–α)u=–(αu)

En particular, para α=1α=1 :(–1)u=–u(–1)u=–u

Propiedad 4

αu=0V⇒α=0∨u=0Vαu=0V⇒α=0∨u=0V

Veamos cómo puede demostrarse esta última propiedad:

Si α=0α=0 , se cumple la proposición.

Si α≠0α≠0 , podemos multiplicar por 1α1α :

αu=0V⇒1ααu=1α0V⇒u=0Vαu=0V⇒1ααu=1α0V⇒u=0V

¡Demostrado!

Subespacios vectoriales

Definición

Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V.

W es un subespacio de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en V.

Ejemplo

W={(x1,x2)∈R2:x2=3x1}W={(x1,x2)∈R2:x2=3x1} ¿es un subespacio de R2?

Primero analicemos el conjunto W. Son todos vectores de R2 tales que la segunda componente es el triple de la primera:

(x1,3x1)=x1(1,3)(x1,3x1)=x1(1,3)

WW es la recta que pasa por el origen y tiene vector director (1,3), o sea la recta de ecuación y = 3x.

Para decidir si W es un subespacio de R2 habría que verificar que se cumplen los axiomas del 1 al 10. El lector puede comprobar que todos se cumplen en este caso.

Pero en general no es necesario verificar los axiomas porque existe un criterio sencillo para determinar si un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio, es el que sigue.

Condiciones necesarias y suficientes para caracterizar subespacios

Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V (W⊆V)(W⊆V).

W es subespacio de V si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

a. 0V está en W.

b. Si u y v están en W, entonces u+vu+v está en W.

c. Si u está en W y k es un escalar, ku está en W.

Observaciones

1. La condición (a) asegura que W no es vacío. La mejor manera de comprobar si W es un subespacio es buscar primero si contiene al vector nulo. Si 0V está en W, entonces deben verificarse las propiedades (b) y (c). Si 0V no está en W, W no puede ser un subespacio y no hace falta verificar las otras propiedades.

2. Las propiedades a, b y c corresponden a los axiomas 4, 1 y 6 de espacios vectoriales.

3. Los axiomas 2, 3, 7, 8, 9 y 10 de espacio vectorial se cumplen para W porque éste es un subconjunto de V. Puede decirse que W “hereda” esas propiedades de V.

4. Faltaría comprobar que cada vector de W tiene su opuesto en W (axioma 5 de espacios vectoriales):

Teniendo en cuenta la condición (c) de subespacios,

c. Si u está en W y k es un escalar, ku está en W.

Si tomamos k=–1k=–1, resulta:

Para cada u∈W,(–1)u=–u∈Wu∈W,(–1)u=–u∈W.

Y por lo tanto cada vector de W tiene su opuesto en W.

De las observaciones anteriores se deduce que las condiciones (a), (b) y (c) son suficientes para demostrar que W es un espacio vectorial, y por lo tanto subespacio de V.

Subespacios triviales

Si V es un espacio vectorial, entonces V es un subespacio de sí mismo.

0V+0V=0V+0V=0V y k0V=0V para cualquier k real k0V=0V para cualquier k real

Los subespacios {0V}{0V} y VV se denominan subespacios triviales de V.

Ejercitación sobre subespacios

Ejemplo 1

Consideremos el conjunto W={(x,y)∈R2|xy=0}W={(x,y)∈R2|xy=0}, ¿Es un subespacio de R2?

Se cumple (a) pues (0,0)∈W(0,0)∈W

No se cumple (b) porque la suma de dos vectores de W puede no estar en W, por ejemplo:

(1,0)+(0,1)=(1,1)∉W(1,0)+(0,1)=(1,1)∉W

Entonces W no es un subespacio de R2.

Ejemplo 2

Consideremos el conjunto W={(x,y)∈R2|x=0}W={(x,y)∈R2|x=0}. Es decir, la recta de ecuación x=0x=0. ¿Es un subespacio de R2?

Se cumple (a) pues (0,0)∈W(0,0)∈W

Se cumple (b) pues la suma de dos vectores de W, está en W:

(0,y1)+(0,y2)=(0,y1+y2)(0,y1)+(0,y2)=(0,y1+y2)

Se cumple (c) pues el producto de un vector de W por un número real está en W:

k(0,y)=(0,ky) k(0,y)=(0,ky)

Luego W es subespacio de R2.

Ejemplo 3

Consideremos el conjunto W={(x,y)∈R2|x2–y2=0}W={(x,y)∈R2|x2–y2=0}. ¿Es un subespacio de R2?

x2–y2=0⇔y=x∨x=–yx2–y2=0⇔y=x∨x=–y

Se cumple (a) pues (0,0)∈W(0,0)∈W

No se cumple (b) porque la suma de dos vectores de W puede no estar en W, por ejemplo:

(1,1)+(1,–1)=(2,0)∉W(1,1)+(1,–1)=(2,0)∉W

Entonces W no es un subespacio de R2.

Ejemplo 4

Consideremos el conjunto W={(x,y,z)∈R3|x+y+2z=0}W={(x,y,z)∈R3|x+y+2z=0}. Es decir un plano que pasa por el origen. ¿Es un subespacio de R3?

De la ecuación del plano se deduce que: x=–y–2zx=–y–2z

Por lo tanto los vectores que pertenecen a WW responden a la forma (–y–2z,y,z)(–y–2z,y,z) con y,z∈Ry,z∈R.

Se cumple (a) pues (0,0,0)∈W(0,0,0)∈W

Se cumple (b) pues la suma de dos vectores del plano, sigue estando en ese plano:

(–y–2z,y,z)+(−y′–2z′,y′,z′)=(–(y+y′)–2(z+z′),y+y′,z+z′)(–y–2z,y,z)+(−y′–2z′,y′,z′)=(–(y+y′)–2(z+z′),y+y′,z+z′)

Se cumple (c)(c) pues k(–y–2z,y,z)=(–ky–2kz,ky,kz)∈Wk(–y–2z,y,z)=(–ky–2kz,ky,kz)∈W

Entonces W es subespacio de R3.

Ejemplo 5

Consideremos el conjunto W={p∈P2|p(0)=0}W={p∈P2|p(0)=0}. Es decir, los polinomios de grado menor o igual que 2 (incluyendo el polinomio nulo) tales que evaluados en 0 dan por resultado 0. ¿Es un subespacio de P2?

Se cumple (a) pues el polinomio nulo pertenece a W.

Recordemos la definición de suma de funciones y de producto de un real por una función:

(f+g)(x)=f(x)+g(x)(f+g)(x)=f(x)+g(x), para todo xx perteneciente al dominio de f y de g.

(kf)(x)=kf(x)(kf)(x)=kf(x) para todo x perteneciente al dominio de f.

Los polinomios son funciones, por lo tanto si consideramos p,q∈Wp,q∈W, resulta:

(p+q)(0)=p(0)+q(0)=0+0=0⇒p+q∈W(p+q)(0)=p(0)+q(0)=0+0=0⇒p+q∈W

(kp)(0)=k.p(0)=k0=0⇒kp∈W(kp)(0)=k.p(0)=k0=0⇒kp∈W

Demostramos que W es un subespacio de P2.

Ejemplo 6

Consideremos el conjunto W={A∈R2×2|A=At}W={A∈R2×2|A=At}. Es decir, el conjunto de matrices simétricas de 2×2.

Se cumple (a) porque la matriz nula pertenece a W.

Se cumple (b) pues si A,B∈WA,B∈W entonces (A+B)t=At+Bt=A+B(A+B)t=At+Bt=A+B, luego (A+B)∈W(A+B)∈W

Se cumple (c) pues si A∈WA∈W entonces (kA)t=kAt=kA(kA)t=kAt=kA, luego (kA)∈W(kA)∈W

Demostramos que el conjunto de matrices simétricas de 2×2 es un subespacio de R2×2.

Observación: En la comprobación de las condiciones (a), (b) y (c) no fue necesario hacer referencia al tamaño de las matrices. Esto significa que es válido para matrices simétricas de n×nn×n.

Ejemplo 7

Consideremos el conjunto W={A∈R2×2|det(A)=0}W={A∈R2×2|det(A)=0}. ¿Es un subespacio de R2×2?

Se cumple (a) porque la matriz nula pertenece a W.

En general det(A+B)≠det(A)+det(B)det(A+B)≠det(A)+det(B), entonces podría ocurrir que A,B∈WA,B∈Wpero que A+BA+B no esté en W. Por ejemplo

A=(1–3–13),B=(00–25),A+B=(1–3–38)A=(1–3–13),B=(00–25),A+B=(1–3–38)

Entonces no se cumple (b).

W no es un subespacio de R2×2.

Resumen de los subespacios de R2R2 y R3R3

Después de estos ejemplos podemos resumir cuales son los diferentes tipos de subespacios de R2 y R3:

No hay ninguna otra clase de subespacios en R2 y R3.

Explique cuales son la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base.

Propiedades de la dimensión.

1. Significado físico de la dimensión: el espacio tiene dimensión 3, los planos dimensión 2, las rectas dimensión 1, el punto dimensión 0. El subespacio {0} es el único de dimensión 0.

2. La dimensión de un subespacio en ℜn , coincide con el número de parámetros libres en su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2 parámetros= plano...)

3. Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces dim S ≤ dim T. Además, si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos espacios han de coincidir.

4. El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensión del subespacio que generan. Es decir: si v1,v2,. . . vn generan un cierto subespacio S, y si el rango de dicho conjunto es r, entonces dim S = r. (Si un cierto conjunto de vectores tienen rango 2, entonces generan un plano; etc.)

Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. Propiedades de las bases.

Si dim(V)=ndim⁡(V)=n , puede afirmarse que:

1) Todo conjunto de n vectores linealmente independientes en V es una base.

2) Todo conjunto de n vectores que genere V es una base.

3) Todo conjunto de más de n vectores en el espacio vectorial V es linealmente dependiente.

4) Todo conjunto linealmente independiente en V puede extenderse a una base.

Ejemplo:

Es el conjunto A={(1,1,0),(2,–1,1),(0,1,0)}A={(1,1,0),(2,–1,1),(0,1,0)} base de R3?

Cómo dim(R3)=3dim⁡(R3)=3 y A tiene tres vectores, entonces por la propiedad 1, es suficiente probar que A es LI para asegurar que es una base de R3.

En R3, tres vectores v1,v2,v3v1,v2,v3 son LD si y sólo si están situados en el mismo plano que pasa por el origen (vectores coplanares). Veamos si son coplanares haciendo el producto mixto:

                                                  ∣ 1 1 0 ∣

 (1,1,0).(2,–1,1)×(0,1,0)  = ∣ 2 -1 1 ∣ = –1≠0

                                                ∣ 0 1 0 ∣

No son coplanares, por lo tanto son LI.

Luego A es base de R3.

Rango:

Fil(A)Fil(A) y Col(A)Col(A) son en general subespacios de diferentes espacios vectoriales. Pero se puede demostrar que en cualquier matriz la dimensión del espacio fila coincide con la dimensión del espacio columna, y a ese número se lo llama rango de la matriz AA.

dim(Fil(A))=dim(Col(A))=rg(A)dim⁡(Fil(A))=dim⁡(Col(A))=rg(A)

El rango es el número de filas (o columnas) LI que tiene la matriz AA.

Propiedad

Como consecuencia de esta definición puede afirmarse que:

rg(A)=rg(At)rg(A)=rg(At)

Método para hallar el rango de una matriz

Recordemos que:

1. Si se realizan operaciones elementales entre las filas de una matriz, el rango se conserva.

2. Las filas no nulas de una matriz escalonada son LI.

Por lo tanto, para determinar el rango de una matriz se aplican operaciones elementales para obtener una matriz escalonada y se cuentan las filas no nulas.