solución sistemas de ecuaciones mediante método Gauss y Gauss-jordan

                           PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

 Primer punto: Plantear el sistema de ecuaciones para hallar un número de tres cifras sabiendo que la suma de sus cifras es 11, que la suma de la primera y la tercera cifra es 5 y que la segunda cifra es el doble de la tercera.

X=0

Y=0

Z=0

X+Y+Z=11

X+Z=5

Y=2Z

Sustituimos en la primera ecuación y que es igual a 2Z.

X+2Z+Z=11 à

X+3Z=11

X+Z=5

Y=2Z

Me quedan las dos primeras ecuaciones con dos incógnitas:

Resuelvo estas por reducción, realizando la resta:

      X+3Z=11

 -     X+Z=5

__________________

     2Z=6    --àZ=3

Reemplazo Z en la tercera ecuación:

Y=2(3)à Y= 6

Reemplazo Z en la primera ecuación y hallamos X.

            X+2(3)+3=11àX=2

X= 2, Y= 6 , Z= 3

Entonces el numero es 2 6 3.

Segundo punto:  Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss

 x  + 2y - 3z = -16

3x +  y  - 2z = -10

 2x - 3y +  z  = -4

Hacemos la matriz aumentada:

  X     Y       Z

  1     2      -3     -16

  3    1       -2     -10

  2    -3       1     -4

La celda (2, 1) la convertimos en cero, entonces F2* 3 -F3*2

  1     2      -3     -16

  0    11     -7     -22

  2    -3       1     -4

La celda (3,1) la convierto en cero, entonces 2F1-F3

  1     2      -3     -16

  0    11     -7     -22

  0      7      -7    -28

Dividimos la F3 entre 7

  1     2      -3     -16

  0    11     -7     -22

  0      1      -1    -4

Encontramos el cero en la celda (3,2) entonces 11F3-F2

  1     2      -3     -16

  0    11     -7     -22

  0      0     -4    -22

_4z=-22->Z =-22/-4àZ=5.5

11Y-7(5.5)=-22->y= 11Y -38.5=-22àY= 16.5/11àY=1.5

X+2(1.5)+(-3)(5.5)=-16àx+3-16.5=-16àX=13.5-16àX=-2.5

x  + 2y - 3z = -16 à 5.5+3+7.5=-16à16=16

Tercer Punto Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales

 x +  y +  z  =  3  

      2y + 3z = 15

2x + 4y +5z =  21

a:  Y= -x-z+3

Sustituyo el valor de Y de la primera ecuación en la segunda ecuación.

2(x-z+3)+3z=15

2x-2z+6+3z=15à2x+z=9

Reemplazo Y en la tercera ecuación:

2x+4(-x-z+3)+5z=21à2x-4x-4z+12+5z=21à

-2x+z=9

  - 2x+z=9 despejamos z à

 z=9+2x y reemplazo en la siguiente ecuación

   6x+9+2x=9à 8x=0à x=0/4--àX=0

Reemplazo x en la anterior del valor de Z

z=9-2x

Z=9-2(0)-àz=9

Tenemos el valor z y el valor x lo reemplazamos en la primera en que despejamos Y ósea en a.

Y=9-0+3-ày=12

x +  y +  z  =  3  -à 0+12+3=12

Reemplazamos en cualquier ecuación para comprobar la igualdad:

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

Utilizo el método de determinantes o regla de Cramer:

  1     1      1      3    Repetimos debajo de  tercera fila las 2 primeras

  0     2       3    15

 2      4      5    21

 1       1      1    3

  0     2       3     15

(1* 2 * 5+ 0*4*1+ 2*1 *3)-(1*2*2+3*4*1+5*1*0)

(10+0+6)-(4+12+0)= 16-16 =0  El determinante del sistema es cero ∆s=0

Buscamos el determinante de X y en la columna de X colocamos los términos independientes.

 3       1      1    1       1

15     2      3    15     2

  21      4     5    21    4

  (30+63+60)-(75+12+42)= 153-129= 24

∆x=24

Buscamos el determinante de Y, en la columna de Y colocamos los términos independientes.

  1     3        1         

  0     15       3   

2      21      5  

  1       3      1  

  0     15      3    

(75+21+18)-(30+63+15)=114-108= 6

∆Y=6

Buscamos el determinante de Z, en la columna de Z colocamos los términos independientes.

  1       1      3     1       1

 0       2      15    0      2

  2      4        21   2     4

(42+30+0)-(0+60+12)= 72-72 =0

∆Z=0

Tenemos: ∆x/∆s= 24/0=0

                  ∆y/∆s=  6/0=0

                  ∆z/∆s= 0/0=0

              El sistema no tiene solución

La diferencia es que, en la eliminación Gaussiana, se hacen ceros debajo de la diagonal principal, y entonces queda la última incógnita que se despeja inmediatamente, después se va a la penúltima ecuación que ha quedado y se despeja la penúltima incógnita y así sucesivamente.

El método de Gauss-Jordán continúa haciendo operaciones de suma de filas haciendo que por encima de la diagonal principal también haya ceros con lo cual queda una matriz diagonal y las incógnitas se despejan sin más que hacer una división. Yo prefiero el método primero, es muy pesado ir escribiendo la matriz tantas veces y en esta página aún más.

La ventaja de utilizar Gauss Jordán es que transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordán continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria (a_ij=0 para cualquier i diferente de J ).

!Muy importante! Para tener en cuenta:

Muestre la matriz ampliada original de cada sistema de ecuaciones en cada uno de los puntos. Indique las operaciones elementales y cada matriz resultante después aplicar cada paso. En cada punto debe hacer una reflexión si el sistema tiene solución, si es única y                en caso de no tenerla, por qué no la tiene. Si requiere de más espacio para el desarrollo puede agregar páginas necesarias

TIA: Informe solución sistemas de ecuaciones mediante método Gauss

Tutor(a) escriba aquí el nombre completo del tutor (a)

Ruth Beatriz Moreno

Nombres completos escriba aquí los nombres completos de los integrantes del grupo de estudio 
Juan Manuel Ramirez devia

Fecha

Ciudad